stochastischer Prozess

stochạstischer Prozẹss,

 

Stochastik: eine unendliche Familie von Zufallsvariablen X_t (mit t ∈ T ), die ein von der Zeit t abhängiges zufälliges Geschehen beschreibt. Die Indexmenge T kann abzählbar sein (zeitdiskreter stochastischer Prozess) oder ein Intervall (zeitstetiger stochastischer Prozess) darstellen. Das zufällige Verhalten eines stochastischen Prozesses wird durch die Menge der gemeinsamen (n-dimensionalen) Verteilungen beliebiger n-Tupel von Zufallsvariabeln mit t₁, t₂,. .., t_n in T beschrieben. Ein stochastischer Prozess, bei dem alle diese Verteilungen mehrdimensionale Normalverteilungen sind, ist ein Gauß-Prozess. Je nach der Art der Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariabeln unterscheidet man verschiedene Typen stochastischer Prozesse; die wichtigsten sind die Markow-Prozesse (speziell die Markow-Ketten und die Diffusionsprozesse), die stationären Prozesse (stationär), der Wiener-Prozess und die Punktprozesse (speziell der Poisson-Prozess), die die zufällige und zeitlich veränderliche Aufteilung von Punkten auf einer Geraden, in der Ebene oder im Raum beschreiben.

 

Stochastische Prozesse haben vielfältige Anwendungen. In den Naturwissenschaften lassen sich besonders solche Systeme oder Naturvorgänge als stochastische Prozesse beschreiben, bei denen Fluktuationen (Schwankungserscheinungen) auftreten (z. B. brownsche Bewegung), in der Biologie wird z. B. die Entwicklung von Populationen und Epidemien mihilfe stochastischer Prozesse beschrieben; weitere Anwendungen finden sich u. a. im Operations-Research (Wartesysteme), in der mathematischen Statistik (Zeitreihen) und in den Finanzwissenschaften (Optionsgeschäfte).

 

Literatur:

 

L. Fahrmeir u. a.: Stochast. Prozesse (1981);

 

Stochastic processes - mathematics and physics, hg. v. S. Albeverio u. a., 2 Tle. (Berlin 1986-87);

 J. Honerkamp: Stochast. dynam. Systeme (1990);

 M. Kolonko: Angewandte stochast. Prozesse (1995).